Nội dung bài học Toán 10 - Bài: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

pdf 8 trang anhmy 05/09/2025 260
Bạn đang xem tài liệu "Nội dung bài học Toán 10 - Bài: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfnoi_dung_bai_hoc_toan_10_bai_bat_phuong_trinh_bac_nhat_hai_a.pdf

Nội dung tài liệu: Nội dung bài học Toán 10 - Bài: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

  1. Tuần 23 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ǥ V½ dụ 4. Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180. - Lời giải. Gọi x, y lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu. y Có 0 ≤ x ≤ 8; 0 ≤ y ≤ 8; x + y ≤ 8; 20x + 30y ≤ 180 ) 2x + 3y ≤ 18. Số tiền thu được là T(x;y) = 3x + 4y. 80 ≤ x ≤ 8 > > <0 ≤ y ≤ 8 6 A Ta có hệ x + y ≤ 8 > :> 2x + 3y ≤ 18: 4 Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC với A(0;6);B(6;2);C(0;8). Khi đó T(x;y) đạt cực đại tại một trong các đỉnh của 2 B OABC. Có T(0;0) = 0; T(0;6) = 24; T(6;2) = 26; T(8;0) = 24. O C Vậy cần trồng 6 ha dứa và 2 ha củ đậu. 2 4 6 x q ǥ V½ dụ 5. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3000000 đồng trên 100 m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4000000 đồng trên 100 m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180. - Lời giải. Gọi x là diện tích trồng đậu (trăm m2), y là diện tích y trồng cà (trăm m2) . Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Số tiền thu được là T = 3x + 4y triệu đồng. Theo bài ra ta có 6 8x + y ≤ 8 8x + y ≤ 8 A > > 2x + 3y ≤ 18 , >x ≥ 0 >x ≥ 0 > > :y ≥ 0 :y ≥ 0: Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh A(0;6), B(6;2), C(8;0), O(0;0). B Ta có T(A) = 24, T(B) = 26, T(C) = 18, T(O) = 0. Vậy maxT = 26 khi x = 6 và y = 2. O C 6 8 x q p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 3
  2. Tuần 23 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 4
  3. Tuần 23 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Phương tr¼nh đường th¯ng −! • Véc-tơ pháp tuyến (VTPT) của một đường thẳng là véc-tơ khác 0 và có giá vuông góc với đường thẳng. −! • Véc-tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là véc-tơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng đường thẳng. −! • Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I(x0;y0) và có VTPT n (a;b) là 2 2 a(x − x0) + b(y − y0) = 0 hay ax + by + c = 0 với a + b 6= 0: x y • Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) với a;b 6= 0 là + = a b 1. • Phương trình đường thẳng theo hệ số góc đi qua I(x0;y0) và có hệ số góc k = tan(Ox;D) là y = kx + m. −! • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm I(x0;y0) và có VTCP u (a;b) là ¨ x = x0 + at Ä ä a2 + b2 6= 0 : y = y0 + bt 2 Vị tr½ tương đối cõa hai đường th¯ng Cho hai đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D2 : a2x + b2y + c2 = 0. a1 b1 • D1 cắt D2 , 6= . a2 b2 a1 b1 c1 • D1 k D2 , = 6= . a2 b2 c2 a1 b1 c1 • D1 ≡ D2 , = = . a2 b2 c2 4! Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng D1 : a1x+b1y+c1 = 0 và D2 : a2x + b2 y + c2 = 0 có phương trình a x + b y + c a x + b y + c 1 1 1 = ± 2 2 2 : È 2 2 È 2 2 a1 + b1 a2 + b2 p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 5
  4. Tuần 23 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA { Dạng 1. Xác định các yếu tố của đường thẳng ǥ V½ dụ 1. Tìm một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2;3) và B(4;1)? - Lời giải. −! AB = (2;−2), suy ra đường thẳng AB có VTCP −!u (1;−1), suy ra VTPT −!n (1;1): q ǥ V½ dụ 2. Tìm một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(a;b)? - Lời giải. −! −! OA = (a;b), suy ra đường thẳng OA có VTCP −!u = OA = (a;b), suy ra VTPT −!n (b;−a): q ǥ V½ dụ 3. Đường thẳng d có một véc-tơ pháp tuyến là −!n = (−2;−5). Tìm một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng D song song với d. - Lời giải. ¨−! n d = (−2;−5) −! −! −! ) n = n d = (−2;−5) ) u = (5;−2): q D k d D D { Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định một điểm M (x0;y0) 2 D và −! một véc-tơ chỉ phương u = (u1;u2). § x = x +tu Vậy phương trình tham số đường thẳng D : 0 1 y = y0 +tu2 • Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định một điểm M (x0;y0) 2 D và một véc-tơ pháp tuyến −!n = (A;B). Vậy phương trình đường thẳng D : A(x − x0) + B(y − y0) = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D: Ax + By = C với C = −(Ax0 + By0). ǥ V½ dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng D biết D đi qua M(1;2) và có vec-tơ chỉ phương −!u = (−1;3). - Lời giải. § x = 1 −t Phương trình tham số đường thẳng D: . q y = 2 + 3t ǥ V½ dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua A(1;2);B(3;1). Viết phương trình tham số đường thẳng d. - Lời giải. −! Đường thẳng d qua A(1;2) và nhận AB = (2;−1) làm véc-tơ chỉ phương. § x = 1 + 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng d: . q y = 2 −t ǥ V½ dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;−4), B(0;6). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. - Lời giải. −! Ta có: AB = (−3;10). −! Đường thẳng (AB) qua A(3;−4) và nhận AB = (−3;10) làm véc-tơ chỉ phương. § x = 3 − 3t Vậy phương trình đường thẳng (AB): . q y = −4 + 10t p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 6
  5. Tuần 23 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ǥ V½ dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng D đi qua điểm M(−1;5) và có véc-tơ pháp tuyến −!n = (−2;3). - Lời giải. Phương trình đường thẳng D : −2(x + 1) + 3(y − 5) = 0 , −2x + 3y − 17 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D : −2x + 3y − 17 = 0. q ǥ V½ dụ 8. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng D đi qua điểm N(2;3) và vuông góc với đường thẳng AB với A(1;3), B(2;1). - Lời giải. −! Ta có: AB = (1;−2). −! Đường thẳng D qua N(2;3) và nhận AB = (1;−2) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng D: (x − 2) − 2(y − 3) = 0 , x − 2y + 4 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D : x − 2y + 4 = 0. q ǥ V½ dụ 9. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1;2) và vuông góc với đường thẳng M: 2x − y + 4 = 0. - Lời giải. Cách 1: Phương trình đường thẳng d có dạng: x + 2y +C = 0. Vì d đi qua A(−1;2) nên ta có phương trình: −1 + 2:2 +C = 0 , C = −3. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng của đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0. Cách 2: −! Đường thẳng M có một véc-tơ chỉ phương u = (1;2). −! Vì d vuông góc với M nên d nhận u = (1;2) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng d: (x + 1) + 2(y − 2) = 0 , x + 2y − 3 = 0. q ǥ V½ dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;1), C(5;4). 1. Viết phương trình tổng quát của đường cao AH. 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. 3. Viết phương trình đường tròn có tâm là B và đi qua trung điểm của AC. 2 2 ¤ a) AH : 2x + 3y − 8 = 0; b) AB: − x + 2y − 3 = 0; c) (x − 3) + (y − 1) = 4 - Lời giải. 1. Viết phương trình tổng quát của đường cao AH. −! Đường cao AH có véc-tơ pháp tuyến là BC = (2;3). Ta lại có: AH đi qua điểm A(1;2). Do đó, phương trình tổng quát của đường cao AH là 2(x − 1) + 3(y − 2) = 0 , 2x + 3y − 8 = 0. 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. −! Ta có: AB = (2;1), do đó đường thẳng AB có một véc-tơ pháp tuyến là −!n = (−1;2). Ta lại có: đường thẳng AB đi qua điểm A(1;2). Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: −1(x−1)+2(y−2) = 0 , −x+2y−3 = 0. 3. Viết phương trình đường tròn có tâm là B và đi qua trung điểm của AC. 8 1 + 5 <>xM = = 3 Gọi M(x ;y ) là trung điểm của AC. Suy ra 2 ) M (3;3). M M 2 + 4 :>yM = = 3 −! p 2 Ta có: BM = (0;2) ) BM = 22 = 2. Do đó bán kính của đường tròn là R = BM = 2. Phương trình đường tròn có tâm B(3;1) và bán kính R = 2 là: (x − 3)2 + (y − 1)2 = 4. p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 7
  6. Tuần 23 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG q { Dạng 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho các đường thẳng D : Ax + By +C = 0 và D0 : A0x + B0y +C0 = 0. Khi đó ta có ~n = (A;B) và ~n0 = (A0;B0) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của D và D0. 1. Để xét vị trí tương đối của D và D0 trước hết ta dựa vào các véc-tơ ~n và ~n0. Nếu các véc-tơ ~n A B và ~n0 không cộng tuyến thì D và D0 cắt nhau. Nếu véc-tơ~n và ~n0 cộng tuyến, nghĩa là = A0 B0 thì D và D0 là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Cụ thể ta có: A B D cắt D0 khi và chỉ khi 6= , hơn nữa nếu AA0 + BB0 = 0 thì D?D0: A0 B0 A B C D ≡ D0 khi và chỉ khi = = . A0 B0 C0 A B C D k D0 khi và chỉ khi = 6= . A0 B0 C0 2. Chú ý rằng việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng được xét qua số điểm chung của D và D0. Việc xét vị trí tương đối và tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau cũng được thực hiện qua các véc-tơ chỉ phương của D và D0. ǥ V½ dụ 11. Cho ba đường thẳng: d1 : 2x + y − 1 = 0, d2 : x + 2y + 1 = 0, d3 : mx − y − 7 = 0. Chứng minh rằng các đường thẳng d1;d2 cắt nhau và tìm giá trị của tham số m để ba đường thẳng trên đồng quy. - Lời giải. ¨2x + y − 1 = 0 ¨x = 1 Ta có , . x + 2y + 1 = 0 y = −1 Từ đó suy ra d1;d2 cắt nhau tại điểm A(1;−1). Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d3 cũng đi qua điểm A, hay A 2 d3, suy ra m:1 − (−1) − 7 = 0 , m = 6: q ǥ V½ dụ 12. Cho hai đường thẳng D : (m + 3)x + 3y − 2m + 3 = 0 và D0 : 2x + 2y + 2 − 3m = 0. Tìm giá trị của tham số m để a) Đường thẳng D song song với D0. b) Đường thẳng D cắt đường thẳng D0. - Lời giải. m + 3 3 a) D cắt D0 khi và chỉ khi 6= , m 6= 0. 2 2 b) Theo câu a), để D song song với D0 thì trước hết ta phải có m = 0. Với m = 0, khi đó dễ dàng nhận thấy D ≡ D0. Vậy không tồn tại m để D k D0. Chú ý: Ta có thể làm theo cách sau: D song song với D0 khi và chỉ khi 8 m + 3 3 −2m + 3 < = 6= 2 2 2 − 3m :2 − 3m 6= 0 Hệ trên vô nghiệm, do đó không tồn tại m để D k D0. q p Trường THPT Phan Chu Trinh N«m học 2021 – 2022 Trang 8