Nội dung bài học Toán 10 - Bài 3: Dấu của Nhị thức bậc nhất. Hệ thức lượng trong tam giác

Nội dung tài liệu: Nội dung bài học Toán 10 - Bài 3: Dấu của Nhị thức bậc nhất. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Tuần 21 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT { Dạng 3. Bất phương trỡnh chứa dấu giỏ trị tuyệt đối ǥ Vẵ dụ 5. Giải bất phương trỡnh j3x − 2j > −8. - Lời giải. vỡ j3x − 2j ≥ 0 nờn j3x − 2j > −8;8x. Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là T = R. q ǥ Vẵ dụ 6. Giải bất phương trỡnh j2 − 5xj ≤ 12. - Lời giải. 14 Ta cú j2 − 5xj ≤ 12 , −12 ≤ 2 − 5x ≤ 12 , −14 ≤ −5x ≤ 10 , ≥ x ≥ −2. 5 14 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là −2 ≤ x ≤ . q 5 ǥ Vẵ dụ 7. Giải bất phương trỡnh j1 − 4xj ≥ 2x + 1. - Lời giải. 2 −1 22x + 1 ≤ 0 x ≤ 6 2 8 68 − ủ 6 2x + 1 > 0 6 1 x ≤ 0 Ta cú j1 − 4xj ≥ 2x + 1 , 6 x > , 6 ủ − x ≥ x + 6< 2 x ≥ 1: 4 1 4 2 1 6 ủ > 4 − 6x ≥ 0 : 1 − 4x ≤ −2x − 1 > : − 2x ≤ −2 ủx ≤ 0 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là hay x ≤ 0 hoặc x ≥ 1 hay T = (−Ơ; 0] [ [1; +Ơ). q x ≥ 1 p Trường THPT Phan Chu Trinh Nôm học 2021 – 2022 Trang 3
2. Tuần 21 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Đ3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TểM TẮT Lí THUYẾT 1 CĂc kẵ hiằu Cho tam giỏc ABC, ta quy ước cỏc kớ hiệu sau. • BC = a, CA = b, BC = a. A a + b + c • p = gọi là nửa chu vi của tam giỏc ABC. 2 c b • ma, mb, mc là độ dài đường trung tuyến tương ứng kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giỏc ABC. a B C • ha, bb, hc là độ dài đường cao tương ứng kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giỏc ABC. • R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. • r là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. 2 Định lý hàm số cosin Định lớ 1. Nếu ký hiệu a, b, c lần lượt là độ dài cỏc cạnh BC, CA, AB của tam giỏc ABC thỡ ta cú 8a2 = b2 + c2 − 2bccosA <> b2 = c2 + a2 − 2cacosB > :c2 = a2 + b2 − 2abcosC: Từ định lý hàm số cosin ta cũng suy ra cụng thức tớnh cosin cỏc gúc của tam giỏc theo độ dài cỏc cạnh của tam giỏc như sau: 8 b2 + c2 − a2 >cosA = > 2bc > < c2 + a2 − b2 cosB = > 2ca > > a2 + b2 − c2 :>cosC = : 2ab 3 Định lý sin Định lớ 2. Cho tam giỏc ABC, gọi R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Đặt AB = c, BC = a, CA = b. Ta cú a b c = = = 2R: sinA sinB sinC 4 Cụng thực độ dài đường trung tuyán. 8 2(b2 + c2) − a2 >m2 > a = > 4 <> 2 2
   2 2 2 c + a − b mb = > 4 > 2 2
   2 > 2 a + b − c :>m2 = : c 4 p Trường THPT Phan Chu Trinh Nôm học 2021 – 2022 Trang 4
3. Tuần 21 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 5 CĂc cụng thực diằn tẵch tam giĂc Diện tớch S của tam giỏc ABC được tớnh bởi một trong cỏc cụng thức 1 1 1 S = a ã h = b ã h = c ã h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bcsinA = casinB = absinC 2 2 2 abc = 4R = pr ẩ = p(p − a)(p − b)(p − c): B BÀI TẬP { Dạng 1. Xỏc định cỏc yếu tố cũn lại của một tam giỏc khi biết một số yếu tố về cạnh và gúc Áp dụng trực tiếp định lý hàm số cosin, hàm số sin, cụng thức đường trung tuyến, cụng thức diện tớch tam giỏc. 3 ǥ Vẵ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cú b = 5, c = 7 và cosA = . Tớnh cạnh a và cosin cỏc gúc cũn lại của 5 tam giỏc đú. - Lời giải. Ta cú 3 a2 = b2 + c2 − 2bccosA = 25 + 49 − 2 ã 5 ã 7 ã = 32 p p 5 ) a = 32 = 4 2: p c2 + a2 − b2 32 + 49 − 25 2 cosB = = p = : 2ca 56 2 2 p a2 + b2 − c2 32 + 25 − 49 8 2 cosC = = p = p = : 2ab 40 2 40 2 10 q p ǥ Vẵ dụ 2. Cho tam giỏc ABC (BC = a;AB = c;AC = b) cú Ab = 30◦;Bb = 45◦;b = 5 2. Tớnh Cb, a, R của tam giỏc ABC, với R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc ABC. - Lời giải. • Ta cú Ab+ Bb+Cb = 180◦ ) Cb = 105◦. a b bsinA • = ) a = = 5. sinA sinB sinB a a • = 2R ) R = = 5. sinA 2sinA q ǥ Vẵ dụ 3. Tớnh độ dài trung tuyến ma, mb, mc của tam giỏc ABC biết c = 48 cm, b = 14 cm, a = 50 cm. - Lời giải. Áp dụng cụng thức độ dài đường trung tuyến 2(b2 + c2) − a2 2(142 + 482) − 502 p • m2 = = = 625 ) m = 625 = 25. a 4 4 a p Trường THPT Phan Chu Trinh Nôm học 2021 – 2022 Trang 5
4. Tuần 21 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2(a2 + c2) − b2 2(502 + 482) − 142 p • m2 = = = 2353 ) m = 2353. b 4 4 b 2(a2 + b2) − c2 2(502 + 142) − 482 p p • m2 = = = 772 ) m = 772 = 2 193. c 4 4 c q { Dạng 2. Diện tớch tam giỏc Dạng này thường sử dụng cỏc cụng thức về diện tớch sau 1 1 1 S = a:h = b:h = c:h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bcsinA = casinB = absinC 2 2 2 abc = 4R = pr ẩ = p(p − a)(p − b)(p − c): p ǥ Vẵ dụ 4. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB = a, BC = a 2, BAD‘ = 45◦. Tớnh diện tớch S của hỡnh bỡnh hành ABCD theo a. - Lời giải. Diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD là ◦ A a B 1 45 SABCD = 2S4ABD = 2 ã ã AB ã AD ã sinBAD‘ 2 p p = a ã a 2 ã sin45◦ = a2: a 2 D C q { Dạng 3. Ứng dụng giải tam giỏc vào bài toỏn thực tế Sử dụng định lý sin và định lý cos để giải. ǥ Vẵ dụ 5. Trờn ngọn đồi cú một cỏi thỏp cao 100 m (hỡnh vẽ). Đỉnh thỏp B B và chõn thỏp C lần lượt nhỡn điểm A ở chõn đồi dưới cỏc gúc tương ứng bằng 30◦ và 60◦ so với phương thẳng đứng. Tớnh chiều cao AH của ngọn đồi. 30◦ H C 60◦ h A - Lời giải. p Trường THPT Phan Chu Trinh Nôm học 2021 – 2022 Trang 6
5. Tuần 21 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Gọi I = AB \CH. B 100 Ta cú BC = 100 ) CI = BC tan30◦ = p . (1) 3 Tam giỏc AHI vuụng tại H h ) IH = htan30◦ = p . (2) 30◦ 3 Tam giỏc AHC vuụngp tại H ) CH = htan60◦ = h 3. (3) H 100 h p C I Từ (1), (2), (3) và CH = CI + IH suy ra p + p = h 3 60◦ 3 3 h 2h 100 ) p = p , h = 50. 3 3 A q ǥ Vẵ dụ 6. Từ hai vị trớ A và B của một tũa nhà, người ta quan sỏt đỉnh C C của ngọn nỳi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhỡn AC tạo với phương nằm ngang gúc 30◦, phương nhỡn BC tạo với phương nằm ngang gúc 15◦300. Ngọn nỳi đú cú độ cao so với mặt đất là bao nhiờu? B 15◦300 30◦ A - Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra tam giỏc ABC cú CAB‘ = 60◦, ABC‘ = 105◦300 và AB = 70. Khi đú Ab+ Bb+Cb = 180◦ , Cb = 180◦ − (Ab+ Bb) = 180◦ − 165◦300 = 14◦300. AC AB 70 ã sin105◦300 Theo định lớ sin, ta cú = ) AC = ' 269;4 m. sinB sinC sin14◦300 Gọi CH là khoảng cỏch từ C đến mặt đất. AC 269;4 Tam giỏc vuụng ACH cú cạnh CH đối diện với gúc 30◦ nờn CH = = = 134;7 m. 2 2 Vậy ngọn nỳi cao khoảng 135 m. q p Trường THPT Phan Chu Trinh Nôm học 2021 – 2022 Trang 7