Mô tả giải pháp và kết quả thực hiện SKKN Vận dụng hàm số và bản biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế

Nội dung tài liệu: Mô tả giải pháp và kết quả thực hiện SKKN Vận dụng hàm số và bản biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế

1. để đọc kết quả; hiện nay đổi mới cách thi môn toán đòi hỏi học sinh cần có các phương pháp giải tốt hơn, nhanh hơn, cho kết quả chính xác nhất. Toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán tìm tham số thỏa điều kiện cho trước, toác về phương trình, bất phương trình; các bài toán thực tế , bài toán tích hợp kiến thức liên môn có lượng kiến thức rộng và trải đều cả cấp học, nên học sinh khó khăn khi tiếp cận để giải quyết vấn đề của bài toán nêu ra. Một bộ phận học sinh chưa nắm vững các kiến thức ở các lớp dưới, kiến thức về đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, kiến thức về vật lý cách tiệp cận các dạng bài toán tích hợp kiến thức liên môn, đối với học sinh còn tương đối lạ. Nhược điểm của phương pháp đánh giá, bất đẳng thức để giải sẽ làm cho bài toán khó khăn hơn, phức tạp hơn, tốn nhiều thời gian hơn, tính hiệu quả thấp. Hiện nay các cách giải đó để áp dụng cho bài toán trắc nghiệm với số lượng câu hỏi nhiều sẽ không có đủ thời gian để giải. Học sinh sẽ rất khó khăn để giải các bài toán tích hợp kiến thức liên môn, bài toán thực tế 4. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ năm học 2016 – 2017 đến hết học kỳ 1 năm học 2020 - 2021. 5. Nội dung 5.1. Mô tả giải pháp mới hoặc cải tiến 5.1.1 Giải pháp Hướng dẫn học sinh cách vận dụng đạo hàm, dấu của đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán ở nhiều mức độ khác nhau; thông qua đó học sinh có sự so sánh, đánh giá hiệu quả của phương pháp và việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán. Từ đó chúng ta cần giải quyết các vấn đề sau: Một là: Trang bị, củng cố cho học sinh kiến thức rộng, tổng quá và đủ lớn, rèn kỹ năng thực hành, đọc kết quả...tạo cho học sinh môi trường học tập thân thiện, tích cực chủ động; Hai là: Từ việc giải các bài toán đơn giải, hướng đến giải các bài toán ứng dụng, giải bài toán trong thực tế, tích hợp kiến thức liên môn... Khi đó kiến thức về hàm số bảng biến thiên của hàm số là một công cụ giải toán hiệu quả; Ba là: Chủ trương dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; đổi mới kiểm tra, đánh giá và thi mà Bộ Giáo dục và đào tạo đã đề ra; Bốn là: Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình đã hỗ trợ cho các em học sinh của cấp học THPT có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận và giải toán theo phương pháp đề ra; 3
2. 5.1.2 Phương pháp Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết hàm số, bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, đến kiến thức đạo hàm, xét dấu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể có nêu cách giải để học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp, đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải để học sinh hiểu và biết vận dụng. Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp. Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn. Nên trong quá trình dạy học lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học chủ đề tự chọn, tôi đã lồng ghép các bài tập như phương trình, bất phương trình, các bài toán thực tế, tích hợp kiến thức liên môn... Nhưng vì thời gian còn hạn chế, hơn nữa để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi nêu ra một số ví dụ minh họa cụ thể và một số bài tập để các em tự rèn và thực hành. Sau đó phân tích lời giải để học sinh vận đụng được. Đề tài ứng dụng "Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế". Tôi đã ứng dụng vào giảng dạy ở một số lớp, trong nhiều năm. Trong những năm học đó, qua theo dõi quá trình học tập của học sinh , tôi nhận thấy phương pháp này đa số học sinh dễ vận dụng ở nhiều. Qua đó, cho thấy học sinh tự tin, định hướng phương pháp học toán hiệu quả hơn. 5.1.3 Minh họa về một số kiến thức cần áp dụng Ôn tập các kiến thức và rèn luyện các kỹ năng về lập và đọc bảng biến thiên của hàm số trên tập xác định, trên khoảng, đoạn và nửa khoảng. Đối với học sinh lớp 10, lớp 11, khi chưa có công cụ là đạo hàm của hàm số thì học sinh chủ yếu vận dụng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai để giải một số bài toán đơn giản. * Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất y ax b (a 0) + Trường hợp a > 0. Hàm số đồng biến trên R. x – + + y – 4
3. + Trường hợp a < 0. Hàm số nghịch biến trên R. x – + + y – • Bảng biến thiên của hàm số bậc hai y ax2 bx c (a 0) b + Trường hợp a >0. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; và đồng 2a b biến trên khoảng ; . 2a b x – + 2a + + y – 4a b + Trường hợp a < 0. Hàm số đồng biến trên khoảng ; và nghịch 2a b biến trên khoảng ; . 2a b x – + 2a – y 4a – – Kiến thức về đạo hàm, ứng dụng đạo hàm, bảng biến thiên của kiến thức giải tích lớp 12 thì lúc đó việc giải toán được hoàn thiện hơn và mở rộng cho nhiều dạng toán, nhiều hàm số phức tạp hơn. Sau đây là một số minh họa cụ thể qua thời gian công tác tại nhà trường THPT tôi rút ra được. 5.1.4 Các ví dụ minh họa Phương án chung: Từ bài toán đã cho phân tích, tìm cách đặt theo một hàm số và sử dụng kiến thức về về hàm số và bảng biến thiên để giải quyết. 5
4. a. Các bài toán đọc kết quả trực tiếp từ bảng biến thiên Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất (Max) và giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số y 1 sin(x2 ) 1 Giải. Cách 1: (Dùng miền giá trị của hàm số lượng giác) Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu thức 1 sin(x2 ) đạt Max và min tương ứng. Ta có 1 sin x2 1 2 1 sin x2 0 2 1 y 1. Vậy Max(y) 2 1 & Min(y) 1 Cách 2: Giải bài toán theo cách dùng bảng biến thiên (BBT) của hàm số. Đặt t sin x2 ; Xét hàm số f t t 1,t  1;1 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t – 1 1 + + f(t) 2 y f (t) 1 0 – Từ bảng biến thiên, suy ra Max(y) 2 1 , Min(y) 1 (*) Nhận xét : + Đối với bài toán này, khi dùng miền giá trị của hàm số lượng giác, nếu đề toán yêu cầu hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại đâu thì học sình thường mắc sai lầm vì quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân số âm. + Ưu điểm của cách dùng bảng biến thiên vẫn là trực quan và không mắc sai sót khi tìm vị trí đạt được Max, min. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x 3 8 Giải. Cách . Giải theo phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. Ta có 1 sin x 1 1 2sin x 3 5 1 y 5 8 8 Vậy Maxy 5 , Miny 1. Cách 2. Giải theo bảng biến thiên của hàm số. 6
5. Đặt t sin x ; xét hàm số f t 2t 3,t  1;1 ( a = 2 > 0) 8 Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) T – 1 1 + + 5 y = f(t) 1 – Từ bảng biến thiên, suy ra Max(y) 5 ; Min(y) 1 Nhận xét: Ưu điểm của phương pháp dùng bảng biến thiên của hàm số là trực quan, học sinh dễ hiểu và đọc được đáp số bài toán một cách rất thực tế. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y cos2 3x sin 3x . Giải. Viết lại y cos2 3x sin 3x 1 sin2 3x sin 3x Đặt t = sin3x; Xét hàm số f t t 2 t 1,t  1;1 1 Ta có f’(t) = - 2t – 1 ; f’(t) = 0 t . 2 Lập bảng biến thiên (BBT) 1 - 1 1 + t 2 f’(t) + 0 - 5 4 f(t) 1 -1 – – 5 Từ BBT, suy ra Maxy . 4 Ví dụ 4. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất(miny) của hàm số y sin2 x 4sin x 5 . Kết quả nào sau đây là đúng? A. – 8. B. – 9. C. 0. D. 9. Giải. Cách giải 1. Theo phương pháp đánh giá. + Có học sinh giải như sau: + Viết lại y sin2 x 4sin x 4 9 (sin x 2)2 9 9 + Chọn đáp án đúng là B. 7
6. Nhận xét: Lựa chọn của học sinh là Sai, nguyên nhân là học sinh chỉ đánh giá y 9 và kết luận min(y)= 9 . Học sinh quên rằng: y 9 (sin x 2)2 0 sin x 2, (vô nghiệm). Dó đó, theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, số 9 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đến đây, khi được chỉ ra điều vô lí, học sinh đều lúng túng không tìm ra cách giải đúng. Để khắc phục được điều này, chúng ta giải bài toán theo phương pháp dùng dấu của đạo hàm và bảng biến thiên của hàm số để đọc kết quả một cách chính xác. Cách giải 2. + Đặt t = sinx, xét hàm số f t t 2 4t 5,t  1;1 + Ta có : f’(t) = 2t – 4 ; f’(t) = 0 tìm được t = 2. + Lập bảng biến thiên t – -1 1 2 + f’(t) - - - 0 + + + 0 f(t) - 8 –9 + Từ bảng biến thiên, suy ra Min(y) 8. Chọn đáp án A. Nhận xét: Qua bài toán này, cho ta thấy ưu điểm khi giải bài toán bằng hàm số, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên vừa trực quan, đọc kết quả từ bảng biến thiên, tránh sai lầm trong giải toán. Ví dụ 5. Cho hàm số y f x liên tục trên  3;2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  1;2. Tính M m . A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 . Giải. Từ bảng biến thiên học sinh đọc được kết quả trên đoạn  1;2 Vậy M = 3 ; m = 0 nên M + m = 3. Chọn đáp án A. 8
7. Ví dụ 6. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. . 2;0 B. . 2; C. 0;2 . D. . 0; Dựa vào kiến thức đã học từ bảng biến thiên chọn trực tiếp đáp án C Ví dụ 7. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Giải. 3 Từ phương trình 2 f x 3 0 viết lại f (x) , sau đó nhìn vào bảng biến 2 thiên học sinh chọn đáp án D. Ví dụ 8. Tìm các giá trị của tham số m để x2 2x m 0, x 0 . A. m 0 . B. m 1. C. m 1. D. m 0 . Giải. Ta có x2 2x m 0 x2 2x m . Xét hàm số f x x2 2x là hàm số bậc hai có hệ số a 1 0 , hoành độ đỉnh của parabol. Bảng biến thiên của hàm số f(x) x 0 1 0 f x 1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có f x = x 2x m, x 0 khi và chỉ khi m 1. Chọn đáp án C 9
8. Nhận xét: Qua ví dụ này cho thấy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng thành thạo bảng biến thiên của hàm số bậc hai thì các em giải quyết bài toán và đọc kết quả tự tin hơn từ bảng biến thiên. Ví dụ 9. Cho bất phương trình m 2 x2 2 4 3m x 10m 11 0 1 . Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x 4 . Khi đó số phần tử của S là A.0. B.1. C.2. D.3. Giải. Cách giải 1 Đặt f x m 2 x2 2 4 3m x 10m 11 Trường hợp 1: Với m 2 0 m 2 9 Khi đó 1 4x 9 0 x không thỏa mãn đề bài. 4 Trường hợp 2: Với m 2 0 m 2 , khi đó ta có 4 3m 2 m 2 10m 11 m2 7m 6 Bảng xét dấu * Nếu m 6 thì f x 0 x ¡ không thỏa mãn đề bài. * Nếu m 1 thì f x 0 x ¡ thỏa mãn đề bài. * Nếu 2 m 6 thì f x 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 Ta có bảng xét dấu f x Khi đó f x 0 x x1, x2 không thỏa mãn đề bài. * Nếu 1 m 2 thì f x 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 x 1 x 2 Ta có bảng xét dấu f x x x1 x2 f (x) 0 0 Khi đó f (x) 0,x 4, khi vầ chỉ khi 10
9. x1 4 x2 4 0 x1 x2 8 0 4 x1 x2 0 x1 4 x2 4 x1 4 x2 4 0 x1x2 4 x1 x2 16 0 2 3m 4 14m 24 12 8 0 0 m m 2 m 2 14m 24 0 7 3 m 10m 11 8 3m 4 50m 75 50m 75 0 3 2 16 0 0 m m 2 m 2 m 2 2 3 So sánh điều kiện suy ra 1 m . 2 3 Vậy m . Khi đó S 1. Chọn đáp án B 2 Cách giải 2 Ta có : m 2 x2 2 4 3m x 10m 11 0 1 2 2 2 2x 8x 11 2 m x 6x 10 2x 8x 11 0 m 2 ( vì x 6x 10 0;x 4 ). x 6x 10 2x2 8x 11 Xét hàm số f x với x 4 . x2 6x 10 2 7 4x 18x 14 x khi đó f '(x) 2 ; f x 0 2 ( không thỏa mãn x < - 4) x2 6x 10 x 1 Bảng biến thiên: Bất phương trình 1 nghiệm đúng với mọi x 4 khi và chỉ khi 3 m f x m 2 3 Vậy m . Khi đó S 1. Chọn đáp án B 2 Nhận xét: Qua 2 cách giải cho thấy nếu học sinh phân tích bài toán và biết áp dụng kiến thức tổng hợp về đạo hàm, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên để giải quyết vấn đề thì bài toán trở nên gọn hơn, đọc kết quả nhanh hơn, cho thấy cách 2 phù hợp với làm toán trắc nghiệm. 11
10. Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số f x 3 x 6 x (3 x)(6 x) Giải. Điều kiện : x  3;6 1 1 2x 3 Ta có: f x 2 3 x 2 6 x 2 (3 x)(6 x) 1 1 1 2x 3 2 (3 x)(6 x) 3 x 6 x (3 x)(6 x) 3 Xét f x 0 2x 3 0 x 2 Bảng biến thiên: 3 x -3 2 6 f x - 0 + 3 3 9 f x 3 2 2 9 + Từ bảng biến thiên, suy ra Maxf(x) = 3 ; Minf(x) = 3 2 . 2 (*) Bài tập tự thực hành . Chọn phương án đúng nhất. 1. Tìm tập giá trị của hàm số y 2cos6x 3 . A. 0;1. B. 2;3. C.  2;3. D. 1;5. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin2x 3 1. A. 2;2. B. 2;4. C. 4 2;8. D. 4 2 1;7. 3. Tìm giá trị giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y sin2 2x 2sin 2x 5. A. M 8,m 2. B. M 5,m 2. C.M 8,m 4. D. M 8,m 5. 4. Cho hàm số y f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  1;3 như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. max f (x) f (0) . B. max f x f 3 .  1;3  1;3 C. max f x f 2 . D. max f x f 1 .  1;3  1;3 12
11. 5. Cho hàm số y f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau: Số điểm cực trị của hàm số y f x2 2x là A. 9. B. 3. C. 7. D. 5. b. Ứng dụng giải một số ví dụ về phương trình, bất phương trình, một số bài toán có tham số Ví dụ 11. Tìm m để hàm số y x3 3x2 mx 4m2 4 nghịch biến trên khoảng ( 1;1). Giải. + y' 3x2 6x m + Theo yêu cầu bài toán ta có y’ 0 m 3x2 6x , x ( 1;1). + Xét hàm số f(x) = 3x2 6x, x ( 1;1); có f’(x) = 6x 6, f’(x) = 0 x = 1 Bảng biến thiên của hàm số f(x) x 1 1 f’(x) 3 f(x) 9 Từ bảng biến thiên, ta suy ra m 9. 1 Ví dụ 12. Tìm m để hàm số y x3 (m 1)x2 (m 7)x 1 đồng biến 3 trên khoảng (2; + ). Giải. + Ta có y' x2 2(m 1)x (m 7) + Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+ ) khi và chỉ khi y’ 0 x2 2(m 1)x (m 7) 0 x2 2x 7 x2 2x 7 (2x 1)m m x (2;+ ) 2x 1 13