Bài giảng Môn Toán Lớp 12 - Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Môn Toán Lớp 12 - Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. I. Đường tiệm cận ngang: Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim y= y0 hoặc lim y= y0 x→+ x→− y y y0 y = y0 y = f(x) y = y0 y O x 0 O x Đường thẳng y=y0 là tiệm cận Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị ( khi x → + ) ngang của đồ thị ( khi x → − )
2. II. Đường tiệm cận đứng: Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y = + lim y = + − + xx→ 0 xx→ 0 lim y = − lim y = − − + xx→ 0 xx→ 0
3. y y 0 x=x O x0 x O x0 x 0 x=x y y O x0 x O x0 x 0 0 y = f(x) x=x x=x Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi − ) của đồ thị (khi + ) x = xo x = xo
4. Ví dụ 1: tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị − 2x − 2 hàm số: y = x + 3 Giải Xét hàm số: TXĐ: D = R\{-3} lim y = + y = − + lim x→−3 x→−3− => Đg thẳng x= - 3 là TCĐ của đồ thị khi x → − 3 + và khi x → −3− lim y = −2 lim y = −2 x→+ x→− => Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi x → + và khi x →−
5. Ví dụ 2: tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x 2 + x +1 hàm số : y = 3 − 2x − 5x 2 3 TXĐ : D = R \{−1; } 5 x2 + x +1 x2 + x +1 = + = − lim 2 lim 2 x→−1+ 3− 2x − 5x x→−1− 3− 2x − 5x x2 + x +1 x2 + x +1 = − = + lim 2 lim 2 3 + 3− 2x − 5x 3 − 3− 2x − 5x x→ x→ 5 5 Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi x → − 1 + và x → −1− Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi x → 3 / 5 + và x → 3/ 5− x 2 + x +1 1 = − lim 2 x→+ 3 − 2x − 5x 5 ( x→− ) Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5
6. III. Đường tiệm cận xiên: Định nghĩa 3: Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim f( x) −( ax + b) = 0 hoặc x→+ lim  f (x) − (ax + b) = 0 x→−
7. y y y = f(x) y = f(x) O x O x Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị ( khi ) xiên của đồ thị ( khi ) x → + x → −
8. Ví dụ 3: tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: 3x 2 + x −1 y = x − 2 TXĐ: D = R\{2} 3x 2 + x −1 13 Ta có: y = = 3x + 7 + x − 2 x − 2 13 lim f (x)− (3x + 7) = lim = 0 x→+ x→+ x − 2 13 lim f (x)− (3x + 7) = lim = 0 x→− x→− x − 2 => Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khix → + và khix →−
9. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = f (x) = 3 x3 −3x2 + 2 cos 2x b) y = f (x) = x + x c) y = f (x) = 2x −1+ 4x 2 − 5x +1
10. Chú ý: n an x + ... + a1x + a0 * Với hàm số có dạng: y = f (x) = m (m,n N ) bm x + ... + b1x + b0 TCN TCX n < m y = 0 Không có a n = m y = n Không có bm n = m+1 Không có Có ( viết dạng y = ax+b+  (x) với lim  (x) = 0 x→
11. TXĐ: D=R = 3 x3 − 3x2 + 2 − (x −1)+ (x −1) 3 −33x + 3 2 = y = f (x) = x −3x + 2 + (x −1) 3 (x3 − 3x2 + 2)2 + (x −1)3 x3 − 3x2 + 2 + (x −1)2 − 3x + 3  f (x) − (x −1) = = 0 lim lim 3 2 2 3 3 2 2 x→+ x→+ 3 (x − 3x + 2) + (x −1) x − 3x + 2 + (x −1) − 3x + 3  f (x) − (x −1) = = 0 lim lim 3 2 2 3 3 2 2 x→− x→− 3 (x − 3x + 2) + (x −1) x − 3x + 2 + (x −1) => Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi x → + và x →−