Bài giảng Môn Toán Lớp 12 - Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Nội dung tài liệu: Bài giảng Môn Toán Lớp 12 - Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

1. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Nếu ta đặt: x= x2 – x1 và y= f(x2) – f(x1) nếu x1< x2 và f(x1) 0 và y > 0 vỡ vậy: y 0 f(x) đồng biến trờn khoảng (a; b) x Nếu x1 f(x2) nờn x > 0 và y < 0 vỡ vậy: y 0 f(x) nghịch biến trờn khoảng (a; b) x Hay: f(x) đ ồng nghịch biến trờn khoảng (a; b) nếu: y f’(x) = lim 0 trờn khoảng (a; b). →x 0 x
2. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: Định lý Lagrange sau được thừa nhận: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a; b] và cú đạo hàm trờn (a; b) thỡ tồn tại một điểm c (a; b) sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) hay: f()() b− f a fc'( ) = ba− Gọi cung AB là một đoạn đồ thị của hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b)) hệ số gúc của cỏt tuyến AB là: f()() b− f a ba−
3. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: f(b) B C f(c) A f(a) O a c b Đẳng thức: f’(c) = f ()() b − f a là hệ số gúc ba− của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c))
4. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn khoảng (a; b). a. Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a; b) thỡ hàm số y = f(x) đồng biến trờn khoảng đú. b. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a; b) thỡ hàm số y = f(x) nghịch biến trờn khoảng đú.
5. Đ 1 Sệẽ ẹOÀNG BIEÁN, NGHềCH BIEÁN CUÛA HAỉM SOÁ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn khoảng (a; b). Nếu f’(x) 0 (hoặc f’(x) 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trờn khoảng (a; b) thỡ hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trờn khoảng đú.
6. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: Vớ dụ 1: Tỡm cỏc khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số: y = x2 – 2x + 3 -Tập xỏc định: D = R. -Ta thấy: y’ = 2x – 2 y’ 0 khi x > 1 nờn ta cú bảng biến thiờn như sau: x -∞ 1 +∞ y’ - 0 + y -∞ +∞ 2 Hàm số Đ/Biến trờn (1; +∞) và N/Biến (-∞; 1)
7. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: Vớ dụ 2: Tỡm cỏc khoảng đơn điệu của h/s: 3 yx=35 + + x - TXĐ: D = R\{x = 0} 31x2 − - Đạo hàm: y '= 3 − = 3 xx22 Dấu của y’ là dấu của x2 – 1 mà x2 – 1 = 0 x = 1 với x = 1 thỡ y = 11, với x = -1 thỡ y = -1 Nờn ta cú bảng biến thiờn như sau:
8. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2. Điều kiện đủ của tớnh đơn điệu: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 – – 0 + y -1 11 Vậy hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (-∞; -1)  (1; +∞) và nghịch biến trờn (-1; 0)  (0; 1).
9. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3. Điểm tới hạn: Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn (a; b) và x0 (a; b). Điểm x0 3được gọi là một điểm tới hạn củayx hàm= 35số nếu + tại đú + f’(x) khụng xỏc định hoặc bằng 0. x Vớ dụ 1: Xột hàm số: 31x2 − Cú tập xỏc định là: yD '== R 3\{x − = 220} = 3 Cú đạo hàm là: xx y’ triệt tiờu khi x = 1 và kxđ tại x = 0 nhưng do 0 D nờn h/s chỉ cú 2 điểm tới hạn là: x = 1
10. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3. Điểm tới hạn: 32 Xột hàm số: f( x )=− x ( x 5) Tập XĐ: D = R. 2(xx−− 5) 5( 2) Đạo hàm: f'( x ) =32 x + = 3333xx f’(x) khụng xỏc định tại x = 0 và triệt tiờu tại x = 2 hàm số cú hai điểm tới hạn là: x = 0 và x = 2.
11. Đ 1SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3. Điểm tới hạn: Đối với cỏc hàm số f(x) thường gặp, f’(x) liờn tục trờn khoảng xỏc định của nú. Vỡ thế, giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1và x2, f’(x) giữ nguyờn một dấu. Thật vậy, nếu trong khoảng (x1, x2) mà f’(x) đổi dấu thỡ f’(x) phải triệt tiờu tại tại một điểm nào đú trong (x1, x2) nhưng điều này là khụng thể vỡ x1, x2 là hai điểm tới hạn kề nhau.